1. Действительные числа и множества

Created Saturday 09 November 2013

Подмножества:


Равенство множетсв:


Объединение множеств:


Пересечение множеств:


Взаимно-однозначное соответствие:

Пусть на множествах А и В задано некоторое соответствие: любому элементу множества А по правилу f ставится в соответствие некоторый элемент b из множетва В. Это соответствие взаимно однозначно, если выполняются следующие условия:

  1. Двум различным элементам множества А соответствуют два различных элемента множества В:

  1. Для любого элемента из множества В существует его прообраз из множества А:

Эквивалентность множеств:

2 множества называются эквивалентными, если между ними существует взаимно-однозначное соответствие. Это значит, что количества их элементов равны.

Множество А счётно, когда эквивалентно множеству натуральных чисел.

Любое бесконечное множество содержит счётное множество в качестве своего подмножества.

Натуральные числа.

Рациональные числа.

Иррациональные числа I - бесконечные непериодические десятичные дроби
Действительные числа

Модуль числа (абсолютная величина)

Отсюда следует:
Правило 1:

Правила операций с модулями:

Д-во 3.:
— по определению модуля
— по определению модуля
— сложение неравенств (знаки неравенств сохраняются)
— равносильное неравенство (по правилу 1)

Д-во 4.:




Понятие модуля необходимо, чтобы построить взаимно-однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой.

Числовая прямая.






Отрезок:
Интервал:
Полуинтервал:

Окрестность:
Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий её:



δ (дельта) - окрестность:



Проколотая окрестность:
— сама точка не рассматривается.

Точная верхняя/нижняя грань



M — точная (наименьшая) верхняя грань множества:



m — точная (наибольшая) нижняя грань множества:



Теорема: для любого непустого множества, ограниченного сверху (снизу) существует точная верхняя (нижняя) грань.



Backlinks: